부정적분 (역도함수·치환·부분)
부정적분은 적분의 출발이에요. (1) 부정적분 ∫f(x)dx = F(x) + C (F'(x) = f(x), C는 적분 상수). (2) 기본 공식: ∫xⁿdx = xⁿ⁺¹/(n+1) + C (n ≠ -1)·∫(1/x)dx = ln|x| + C·∫eˣdx = eˣ + C·∫sin(x)dx = -cos(x) + C·∫cos(x)dx = sin(x) + C. (3) 치환적분: ∫f(g(x))g'(x)dx = ∫f(u)du (u = g(x)). (4) 부분적분: ∫f(x)g'(x)dx = f(x)g(x) - ∫f'(x)g(x)dx. 빈출 함정: 적분 상수 C 누락·치환 시 dx 변경·부분적분 순서 (LIATE 원칙). 매주 부정적분 50문항 + 1:1 첨삭이 답이에요.
정적분의 정의 (리만합·면적)
정적분은 "면적의 일반화"예요. (1) 정적분 ∫_a^b f(x)dx: 구간 [a,b]에서 함수 f(x)의 적분. (2) 리만합: 구간을 잘게 나누어 직사각형 면적의 합 → 극한. (3) 기하학적 의미: x축과 곡선 사이의 부호 있는 면적 (위는 +·아래는 -). (4) 정적분의 성질: 선형성 (∫(af+bg) = a∫f + b∫g)·구간의 분할·역방향 (∫_a^b = -∫_b^a). 빈출 함정: 부호 있는 면적·구간 부호·정적분 ≠ 절댓값 면적. 시각화 (그래프) + 1:1 첨삭이 답이에요. 1·2등급의 결정적 도구예요.
정적분의 활용 (면적·부피·길이)
정적분의 활용은 1·2등급의 변별 영역이에요. (1) 면적: ∫_a^b |f(x) - g(x)|dx (두 곡선 사이). (2) 회전체의 부피: V = π∫_a^b [f(x)]²dx (x축 회전)·V = π∫_a^b ([f(x)]² - [g(x)]²)dx (두 곡선 사이 회전). (3) 곡선의 길이: L = ∫_a^b √(1 + [f'(x)]²)dx. (4) 평균값: 1/(b-a) × ∫_a^b f(x)dx. 빈출 함정: 두 곡선 면적 시 위·아래 함수 구분·회전체 부피 시 r² 누락·구간 분리. 매주 활용 10문항 + 1:1 첨삭 추천. 수능 30번 (킬러) 영역이에요.
미적분 기본 정리 (미분과 적분의 관계)
미적분 기본 정리는 미분과 적분이 "역연산"임을 보여줘요. (1) 제1정리: F(x) = ∫_a^x f(t)dt → F'(x) = f(x). (2) 제2정리: ∫_a^b f(x)dx = F(b) - F(a) (F는 f의 부정적분). (3) 시각화: 적분으로 면적 → 미분으로 변화율 = 원래 함수. (4) 활용: 정적분 계산이 부정적분 + 대입으로 가능. 빈출 함정: 정리 적용 시 함수의 정의역·연속 조건 확인. 미적분의 진짜 비밀이 이 정리예요. 1:1 과외에서 정리 추천. 1·2등급의 결정적 통찰이에요.